Frase Célebre de Evariste Galois

 La matemática es el trabajo del espíritu humano 

que está destinado tanto a estudiar como a conocer, 

tanto a buscar la verdad como a encontrarla.

Evariste Galois

Frase Célebre de Alberto Durero

 Y dado que la geometría 

es el fundamento correcto de toda la pintura, 

he decidido enseñar sus rudimentos y principios 

a todos los jóvenes ansiosos por el arte.

Alberto Durero

Aguila del artista Hamid Naderi Yeganeh

 Siguiendo con las creaciones del artista matemático Hamid Nadir Yeganeh, tenemos un águila en dos presentaciones primero generada por elipses y posteriormente por circunferencias.

El código previo que se debe correr es:

e[m_, n_] := 
 1/2500 (Pi/2 + ArcTan[3 m/2 - 120]) (Pi/2 - 
    ArcTan[4 m/20 - 20]) (Pi/2 + ArcTanh[8 n/7 - 16]) (Pi/2 - 
    ArcTan[8 n/7 - 104/3])
A[m_, n_] := 
 1/40 ArcTan[400 (-8/30 + n/35)] (1 - m/200)^10 - 
  m/200 (1 - 17 m/6000 (1 - n/35)) - 1/20 (1 - m/200)^40
B[m_, n_] := 
 e[m, n] - 10/25 (m/200)^7 + 
  1/10 (Pi/2 - ArcTan[7 m/20 - 84/3]) ArcTan[
    4000 (-8/30 + n/35)] (4/10 - m/200) + (1/5 + 
     7/(100 Pi) (ArcTan[m/2 - 100/3])) ((-1)^n/70 + 
     n/35) (1 - (1 - m/200)^10) - 
  1/12 (1 - m/200)^20 ArcTan[400 (-8/30 + n/35)]

para el águila por elipses:

Graphics[Table[

  Circle[ReIm[A[m, n] + I B[m, n]], {1, Sqrt[39]/20}/150], {m, 1, 

   200}, {n, 0, 35}]]

Y para el águila por circunferencias:

Graphics[Table[

  Circle[ReIm[A[m, n] + I B[m, n]], 1/150], {m, 1, 200}, {n, 0, 35}]]

Frase Célebre de Arthur C. Clarke

La astronomía, más que ninguna otra cosa,
enseña humildad a los hombres.

Arthur C. Clarke

Encadenamiento de flechas girando

                                                                                                                  Descargar como Notebook

Vamos a considerar inicialmente dos flechas, una anclada al origen y otra anclada al punto final de la primera, la primera gira en el sentido positivo y la segunda puede girar dos, tres veces más rápido, que la primera, en sentido positivo o negativo y tiene una longitud variable de a unidades. Trazaremos el recorrido de la punta de la segunda flecha.

La primera flecha tiene por punto inicial (0,0) y por punto final (Cos(t),Sen(t)), la segunda tiene por punto inicial (Cos(t),Sen(t)) y por punto final 

(Cos(t),Sen(t))+a (Cos(n t),Sen(n t)) = (Cos(t) + a Cos(n t),Sen(t) + a Sen(n t)).

Manipulate[

 Show[Graphics[{Arrow[{{0, 0}, {Cos[t], Sin[t]}}], Green, 

    Circle[{0, 0}, 1], Orange, 

    Arrow[{{Cos[t], Sin[t]}, {Cos[t] + a Cos[k t], 

       Sin[t] + a Sin[k t]}}]}, PlotRange -> 3, Axes -> True], 

  ParametricPlot[{Cos[s] + a Cos[k s], Sin[s] + a Sin[k s]}, {s, 

    0.000001, t}]], {{a, 0.9}, 0, 

  2}, {k, {-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}}, {t, 0, 2 Pi}]

Ahora la misma situación anterior, pero con tres flechas.

Manipulate[

 Show[Graphics[{Arrow[{{0, 0}, {Cos[t], Sin[t]}}], 

    Arrow[{{Cos[t], Sin[t]}, {Cos[t] + a Cos[k t], 

       Sin[t] + a Sin[k t]}}], 

    Arrow[{{Cos[t] + a Cos[k t], 

       Sin[t] + a Sin[k t]}, {Cos[t] + a Cos[k t] + b Cos[p t], 

       Sin[t] + a Sin[k t] + b Sin[p t]}}]}, PlotRange -> 5, 

   Axes -> True], 

  ParametricPlot[{Cos[s] + a Cos[k s] + b Cos[p s], 

    Sin[s] + a Sin[k s] + b Sin[p s]}, {s, 0.000001, t}]], {a, 0, 

  2}, {k, {-3, -2, 2, 3, 4, 5, 6, 7}}, {b, 0, 

  2}, {p, {-3, -2, 2, 3, 4, 5, 6, 7}}, {t, 0, 2 Pi}]

Ahora, son diez flechas con longitud de 1/n con respecto a la primera para la enésima flecha. Pero el recorrido de la punta de la última flecha traza una figura. La lista inicial aa determina la velocidad y sentido de cada flecha, positivo es en sentido anti horario y negativo en sentido horario.

aa = {2, 6, -4, 10, 2, -10, -12, 6, 2, -20, -10, 10};

Manipulate[

 Show[Graphics[{Arrowheads[0.01], 

    Table[Arrow[{{Sum[Cos[aa[[n]] t]/n, {n, m - 1}], 

        Sum[Sin[aa[[n]] t]/n, {n, m - 1}]}, {Sum[

         Cos[aa[[n]] t]/n, {n, m}], 

        Sum[Sin[aa[[n]] t]/n, {n, m}]}}], {m, 0, 12}]}, 

   PlotRange -> 4, Axes -> True], 

  ParametricPlot[{Sum[Cos[aa[[n]] s]/n, {n, 12}], 

    Sum[Sin[aa[[n]] s]/n, {n, 12}]}, {s, 0, t}]], {t, 0.00001, Pi}]

La pregunta es cómo elegir adecuadamente la velocidad y sentido de cada flecha, esto tiene una respuesta sorprendente que veremos en una futura entrada.

Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas

Humor matemático

Tres lógicos entran a un bar y el camarero les pregunta:

"¿ustedes van a tomar algo?"

El primero responde: "No lo sé"
El segundo responde: "No lo sé"
El tercero responde: "Sí".

Frase Célebre de Jules Henri Poincaré

... geometría es el arte de razonar bien
a partir de dibujos mal hechos.

Jules Henri Poincaré

Envolvente Lineal

                                                                                                              Descargar como Notebook

Figura generada por segmentos de recta (secantes) dentro de una circunferencia. Generada por el Profesor alemán Hansruedi Widmer (@HansruediWidmer), muy activo en twitter.

esquinas = Table[{Cos[n 2 Pi/25], Sin[n 2 Pi/25]}, {n, 0, 400}];

Graphics[Flatten[

  Table[{Black, 

    Line[Flatten[

      Table[Table[esquinas[[n j + k]], {j, 25}], {k, 0, n}], 1]]}, {n,

     12}], 1]]

Agregándole diferentes colores,

esquinas = Table[{Cos[n 2 Pi/25], Sin[n 2 Pi/25]}, {n, 0, 400}];

colores = {Black, Red, Green, Blue, Yellow, Pink, Gray, Magenta, 

   Orange, Cyan, Brown, Purple};

Graphics[Flatten[

  Table[{colores[[n]], 

    Line[Flatten[

      Table[Table[esquinas[[n j + k]], {j, 25}], {k, 0, n}], 1]]}, {n,

     12}], 1]]

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Frase Célebre de Edward Rothstein

La música y las matemáticas responden a una especie 
de "apetito" abstracto,
un deseo que es en parte intelectual, en parte estético, 
en parte emocional y,
en parte, incluso, físico.

Edward Rothstein

Escorpión del artista Hamid Naderi Yeganeh

                                                                                                                  Descargar como Notebook

El matemático iraní Hamid Naderi Yeganeh genera otra figura de la naturaleza, ahora un escorpión.

El centro y radio de las circunferencias están dados por:

A[t_] := 1/3 Sin[20 t]^19 (Pi/2 + ArcTan[500 Cos[2 t]]) - 3/4 Sin[t]^20

B[t_] := 4/3 Cos[2 t] + 1/3 Sin[20 t]^20 Sin[120 t]^6 + 

  1/3 Sin[t]^60 Sin[3 t]^60 + 

  4/3 (Cos[t] Cos[3 t] Sin[20 t])^20 (1/2 + 3/2 Sin[60 t]^24)

R[t_] := 1/80 + 

  1/7 (1 + Cos[t]^4) (1 - Sin[20 t]^4) (1 - Sin[t]^80 Sin[3 t]^80) + 

  1/2 Cos[t]^40 Cos[3 t]^40 Sin[20 t]^50 Sin[320 t]^2

donde el parámetro t toma valores entre 0 y Pi, los tomamos con valores cada 0.001 para considerar 3141 circunferencias.

RegionPlot[

 Evaluate@Table[(x - A[t])^2 + (y - B[t])^2 <= R[t]^2, {t, 0, Pi, 

    0.001}], {x, -2, 2}, {y, -1.5, 3}, PlotPoints -> 100, 

 BoundaryStyle -> Black, PlotStyle -> Black]

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Humor Matemático

 La aritmética es el arte de contar hasta 16 

sin quitarte los zapatos.

Lisa Simpson y Mikey Mouse

Hipocicloide

                                                                                                                                Descargar como Notebook

La Hipocicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el interior de otra circunferencia (directriz) .

A diferencia de la epicicloide la circunferencia generatriz rueda por el interior.

Las figuras que se obtienen van a depender del radio de la circunferencia generatriz, con respecto al radio de la circunferencia directriz. Por facilidad vamos a considerar este segundo radio fijo de una unidad.

Manipulate[

 Show[Graphics[{Arrowheads[0.02], 

    Arrow[{{0, 0}, (1 - r) {Cos[t], Sin[t]}}], Green, 

    Circle[{0, 0}, 1], Orange, Circle[(1 - r) {Cos[t], Sin[t]}, r], 

    Arrow[{(1 - r) {Cos[t], Sin[t]}, {(1 - r) Cos[t] + 

        r Sin[t (1/r - 1)], (1 - r) Sin[t] + r Cos[t (1/r - 1)]}}], 

    Red, PointSize[0.015], 

    Point[{(1 - r) Cos[t] + r Sin[t (1/r - 1)], (1 - r) Sin[t] + 

       r Cos[t (1/r - 1)]}]}, PlotRange -> 2, Axes -> True], 

  ParametricPlot[{(1 - r) Cos[s] + 

     r Sin[s (1/r - 1)], (1 - r) Sin[s] + r Cos[s (1/r - 1)]}, {s, 

    0.000001, t}]], {t, 0, 60 Pi}, {{r, 0.3}, 0.1, 1.5}]

Imagen Arriba

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Frase Célebre de Charles Darwin

La ignorancia frecuentemente genera más confianza
de lo que lo hace el conocimiento.

Charles Darwin