"Hacer" es relativamente fácil.
Maria Mitchell
martes, 31 de enero de 2017
Frase Célebre de Maria Mitchell
Saber lo que uno debe hacer es lo más difícil en la vida.
"Hacer" es relativamente fácil.
"Hacer" es relativamente fácil.
viernes, 27 de enero de 2017
Números Parásitos
Son los números enteros positivos que al ser multiplicados por un número entero n del 2 al 9 sólo cambia su representación decimal en que la cifra de las unidades pasa al frente, y se dice que el número es n-parásito.
Por ejemplo, 102564 es un 4 - parásito, ya que :
4×102564
410256
Para calcularlos de forma computacional, determinamos sus dígitos por IntegerDigits y rotamos la lista una posición con RotateRight :
RotateRight[IntegerDigits[102564]]
{4, 1, 0, 2, 5, 6}
Y formamos nuevamente el número:
FromDigits[RotateRight[IntegerDigits[102564]]]
410256
Ahora, generalizamos y buscamos los números parásitos entre el primer millón de enteros:
parasito = {};
Do[Do[If[FromDigits[RotateRight[IntegerDigits[k]]] == n k,
AppendTo[parasito, {n, k}]], {n, 2, 9}], {k, 1000000}]
TableForm[
Table[{parasito[[m, 1]], parasito[[m, 2]],
parasito[[m, 1]]*parasito[[m, 2]]}, {m, Length[parasito]}],
TableHeadings -> {None, {"n-parásito", "parásito", "n*parásito"}}]
La tabla nos muestra el orden de parásito, el número parásito y la comprobación al multiplicar el orden por el número.
Ejercicio
Encuentre el primer número n-parásito que no sea 4-parásito ni 5-parásito.
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miércoles, 25 de enero de 2017
Frase Célebre de Paul Erdös
De alguna manera, la matemática es la única actividad humana infinita. Es concebible que eventualmente la humanidad conozca toda la biología o la física. Pero seguramente la humanidad nunca podrá descubrir toda la matemática, porque el tema es infinito. Los números mismos son infinitos. Ésta es la causa por qué la matemática es realmente mi único interés.
Paul Erdös
lunes, 23 de enero de 2017
Sucesión de los Números Malabaristas (Juggler Number)
Creada en 1992 por Clifford A. Pickover, se dice que un número es malabarista si pertenece a la sucesión que se forma así :
Partiendo de cualquier entero positivo, realizamos el siguiente procedimiento: si es par tomamos su raíz cuadrada, y si es impar la raíz cuadrada de su cubo. Posteriormente tomamos la parte entera del resultado, en cualquiera de sus dos casos y repetimos el procedimiento.
Al igual que en la Conjetura de Collatz (de la cual hablamos en la publicación del 20 de Noviembre de 2016):
Conjetura:
Las sucesiones que se forman se estabilizan, terminan en uno.
Definimos la función que realiza el proceso de los Números Malabaristas :
mal[n_] :=
Piecewise[{{Floor[Sqrt[n]], EvenQ[n]}, {Floor[n Sqrt[n]], OddQ[n]}}]
snm[n_Integer] := Length[NestWhileList[mal, n, # != 1 &]] - 1
Calculamos y graficamos el número de iteraciones necesarias para que la sucesión se estabilice en 1.
ListPlot@Table[snm[n], {n, 100000}]
Vemos que hasta los primeros 100000 enteros positivos no se necesita de más de 40 iteraciones.
Ejercicio
1. Determine los números entre los primeros 100000 enteros que requieren el máximo de iteraciones. Cuántas iteraciones son?
2. Será que el número de iteraciones va decreciendo conforme crecen los números? Pues en la gráfica esto pareciera, después de un poco más de 20000 no se necesitan tantas iteraciones, lo mismo después de un poco menos de 40000 e igual después de un poco menos de 80000.
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jueves, 19 de enero de 2017
Frase Célebre de Eugene Lonesco
No es la respuesta lo que te ilumina,
sino la pregunta.
sino la pregunta.
Eugene Lonesco
lunes, 16 de enero de 2017
Creación de un GIF con Mathematica
Fácilmente podemos crear un Manipulate o un Animate utilizando Mathematica, si deseamos crear una figura dinámica para insertar a una página web lo podemos realizar de la misma forma.
Creación de un Manipulate
Deseamos graficar el comportamiento de la función Sin(n x) donde n toma valores entre 1 y 3, x entre 0 y 2 Pi
Manipulate[Plot[Sin[n x], {x, 0, 2 Pi}], {n, 1, 3}]
Si cambiamos Manipulate por Animate obtenemos lo mismo pero ya el control se mueve automáticamente
Animate[Plot[Sin[n x], {x, 0, 2 Pi}], {n, 1, 3}]
Creación de un GIF
Cambiamos el comando Manipulate por Table (adicionando la variación de cada n) y obtenemos una lista con los gráficos de la función sin(n x) con n tomando los valores n=1, 1.1, 1.2,...,2.9, 3. Y le llamanos por ejemplo seno.
nseno = Table[Plot[Sin[n x], {x, 0, 2 \[Pi]}], {n, 1, 3, 0.1}]
Para convertirlo en un .gif simplemente lo exportamos a la misma carpeta donde esté previamente guardado el notebook. El comando DisplayDurations nos indica el tiempo en segundos que dura cada cuadro de la tabla que exportamos en el gif.
Export[NotebookDirectory[] <> "nseno2.gif", nseno,
"DisplayDurations" -> {1/12}]
El archivo nseno2.gif se crea en la misma carpeta donde se encuentra guardado en notebook, abra el archivo en su buscador de Internet o péguelo en una página web.
También se puede crear directamente desde el Manipulate, así:
Export[NotebookDirectory[] <> "nseno1.gif",
Manipulate[Plot[Sin[n x], {x, 0, 2 \[Pi]}], {n, 1, 3}],
"AnimationRepetitions" -> Infinity]
Obtenemos un Manipulate donde el control se mueve de forma autónoma al estilo de un Animate.
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viernes, 13 de enero de 2017
Frase Célebre de Carl Friedrich Gauss
Las matemáticas es la reina de la ciencia,
y la aritmética la reina de las matemáticas.
Carl Friedrich Gauss
lunes, 9 de enero de 2017
Números de Carol y Kynea
Se deben a Cletus Emmanuel un profesor de matemáticas de la Universidad de Islas Vírgenes, quien los nombró así por un amigo Carol G. Kirnon y su hija Kynea.
Números de Carol
Son los números enteros de la forma
carol = Table[(2^n - 1)^2 - 2, {n, 20}]
{-1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, 4190207,
16769023, 67092479, 268402687, 1073676287, 4294836223, 17179607039,
68718952447, 274876858367, 1099509530623}
La importancia de estos números se debe a su representación binaria:
BaseForm[carol, 2]
para n > 2 su representación binaria es: n-2 unos, un cero y n+1 unos. Así, en base decimal se pueden representar como:
{-1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, 4190207,
16769023, 67092479, 268402687, 1073676287, 4294836223, 17179607039,
68718952447, 274876858367, 1099509530623}
En base 3
Posibilidad 1
Si en la fórmula que genera los números de Carol (2^n-1)^2-2 cambiamos el 2 por el 3 en las bases (no el exponente) y escribimos en base 3, tenemos:
Table[(3^n - 1)^2 - 3, {n, 20}]
{1, 61, 673, 6397, 58561, 529981, 4778593, 43033597, 387381121,
3486666301, 31380705313, 282428473597, 2541862639681,22876782889021,
205891103396833, 1853020102758397, 16677181441386241, 150094634522158141, 1350851715348469153, 12157665452083359997}
BaseForm[%, 3]
Obtenemos n - 1 dos, un cero, n-1 dos y un uno al final.
Posibilidad 2
Y si en la fórmula equivalente 2^(2 n) - 2^(n + 1) - 1 cambiamos el 2 en la base por 3, obtenemos : 3^(2 n) - 3^(n + 1) - 1
Table[3^(2 n) - 3^(n + 1) - 1 , {n, 20}]
{-1, 53, 647, 6317, 58319, 529253, 4776407, 43027037, 387361439, 3486607253, 31380528167, 282427942157, 2541861045359,22876778106053, 205891089047927, 1853020059711677, 16677181312246079, 150094634134737653, 1350851714186207687, 12157665448596575597}
en base 3 :
BaseForm[%, 3]
para n > 2, n - 2 dos, un uno y n + 1 dos.
Posibilidad 3
Si de la fórmula equivalente
cambiamos los 2 de la base por 3 :
obteniendo los números :
{-5, 13, 283, 3037, 28795, 263533, 2384923, 21503677, 193651195, 1743215053, 15689998363, 141213173917, 1270928131195,11438381878573, 102945523000603, 926509965285757, 8338590462412795, 75047316486238093, 675425855349711643, 6078832719068111197}
en base 3 :
BaseForm[%, 3]
Igual representación que los obtenidos inicialmente, desde el segundo, pero en base 3.
Números de Kynea
Son los números enteros de la forma
los primeros números de Kynea son :
kynea = Table[(2^n + 1)^2 - 2, {n, 20}]
{7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, 67125247, 268468223, 1073807359, 4295098367, 17180131327, 68720001023, 274878955519, 1099513724927}
y en forma binaria
BaseForm[kynea, 2]
para n > 1 su representación binaria es un uno seguido por n-1 ceros y luego n+1 unos. Y algebráicamente en base decimal los números de Kynea son:
{7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623}
Ejercicio
1. Con los números de Kynea, realizar el mismo estudio que se hizo con los números de Carol.
2. Dar una explicación del comportamiento binario de los números de Carol y Kynea.
3. Dar una explicación del comportamiento de los números de Carol y Kynea en base 3.
4. Explorar otras bases.
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jueves, 5 de enero de 2017
Conjetura de Brocard
El enunciado de la conjetura es:
Si P[n] representa el enésimo número primo, entonces para todo n número natural mayor que uno se tiene que existen al menos cuatro números primos entre P[n]^2 y P[n+1]^2.
Ejemplificando la afirmación de Brocard
brocard = {};
Do[AppendTo[
brocard, {Power[HoldForm@Evaluate[Prime[k]], 2],
NextPrime[Prime[k]^2], NextPrime[Prime[k]^2, 2],
NextPrime[Prime[k]^2, 3], NextPrime[Prime[k]^2, 4],
Power[HoldForm@Evaluate[Prime[k + 1]], 2]}], {k, 2,
numero}];
brocard
Buscando entre los primeros números primos alguno que incumpla la conjetura, como es de esperarse da vacío
numero = 100;
brocard = {};
Do[If[NextPrime[Prime[k]^2, 4] > Prime[k + 1]^2,
AppendTo[brocard, Prime[k]]], {k, 2, numero}];
brocard
{}
Buscando un ejemplo donde no se tengan cinco números primos
numero = 100000;
brocard = {};
Do[If[NextPrime[Prime[k]^2, 5] > Prime[k + 1]^2,
AppendTo[brocard, Prime[k]]], {k, 2, numero}]; brocard
{}
Tal parece que se podría generalizar a cinco primos.
Ahora, determinaremos el número de primos entre P[n]^2 y P[n+1]^2 pues ya vimos que se tienen más de cuatro
numero = 100;
t = {};
Do[b = 5; While[NextPrime[Prime[k]^2, b] < Prime[k + 1]^2, b++];
AppendTo[t, {Prime[k], b - 1}], {k, 2, numero}];
t
Este resultado nos muestra, para los 100 primeros números primos, el número primo acompañado de cuantos números primos se tienen desde el numero primo al cuadrado hasta el cuadrado del siguiente primo, y gráficamente:
Show[ListPlot[Tooltip[t]], Plot[4, {x, 0, 550}, PlotStyle -> Red]]
Vemos que conforme crecen los números también crece el numero de primos que se encuentran entre los cuadrados de este primo con el siguiente.
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domingo, 1 de enero de 2017
Curiosidades del Número 2017
Este año 2017 tiene propiedades curiosas, veamos algunas :
Algunas sumas que dan 2017
Con 2, 0, 1 y 7 se pueden obtener los números de cero a diez
cero
2*0*1*7
uno
dos
2 + 0* 1* 7
tres
cuatro
-(2 + 0 + 1 - 7)
cinco
-(2 + 0 *1 - 7)
seis
-(2 + 0 - 1 - 7)
siete
2* 0 *1 + 7
ocho
nueve
2 + 0 + 1* 7
diez
2 + 0 + 1 + 7
Con los números de uno a diez se puede obtener 2017
10* 9 (8 + 7 + 6) + 5! + 4!/3 - (2 - 1) = 2017
10 (9 + 8*7 - 6 + 5! + 4!) - 3!*2 - 1 = 2017
10 (9 + 8) 7 + 6! + 5! - 4! + 3!*2 - 1 = 2017
Operando con las primeras cifras de Pi se puede obtener 2017
N[Pi, 14]
3.1415926535898
314*1*5 + (92 + 6)*5 - 35 - 8 = 2017
Primer natural cuya raíz cúbica tiene todos los dígitos en sus primeros 10 cifras.
12.63480759
Solución del Problema del Contador Perezoso
Si cortamos una pizza circular con cortes rectos, sin que haya tres cortes que pasen por el mismo punto, y realizamos n el número de partes se obtiene con la siguiente fórmula:
f[n_] := (n^2 + n + 2)/2
y para 63 cortes
f[63]
2017
Como número primo
2017 es un número primo
PrimeQ[2017]
True
Es el primo 306 en la lista
PrimePi[2017]
306
Al quitarle cifras a la izquierda también se obtienen números primos
2017
017
17
7
La suma de todos los primos impares hasta 2017 también es un número primo
True
La suma del cubo de las diferencias de los primos consecutivos hasta 2017 también es un número primo
True
Al redondear al entero más cercano el producto de 2017 por Pi es un número primo
PrimeQ[Round[2017 Pi]]
True
Al redondear al entero más cercano el producto de 2017 por E (constante de Euler) es un número primo
PrimeQ[Round[2017 E]]
True
Al intercalar 7 entre las cifras de 2017 se obtienen números primos
PrimeQ[{27017, 20717, 20177}]
{True, True, True}
Ejercicios
1. Se puede escribir 2017 como la suma del cubo de tres primos. Cuales?
2. Se puede escribir 2017 como la suma del cubo de cinco enteros diferentes. Cuales?
3. Se puede escribir 2017 como: x^2+n y^2, para x, y enteros positivos y n tomando todos los valores de 1 al 9. Determinar para cada valor de n los valores de x y de y.
4. Demuestre que 2017 sí es el primer natural con la propiedad que su raíz cúbica tiene todos los dígitos en sus primeras diez cifras
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