Frase Célebre de Albert Einstein

Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; 
cuando son ciertas, no se refieren a la realidad.

Albert Einstein

Números de la Suerte

Descargar como Notebook

El término de Números de la Suerte (Lucky Number) fue introducido en 1956 por Gardier, Lazarus, Metropolis y Ulam.

Al igual que la Criba de Eratóstenes que se uso para generar los números primos menores que un número dado, que se mencionó en la Criba de la Parábola (Publicada el 30 de septiembre de 2016), estos Números de la Suerte se generan eliminando números de tanto en tanto a partir de la lista de números enteros positivos, por medio del siguiente procedimiento:

1. Comenzamos con la lista de los primeros 100 enteros positivos, por ejemplo :

lista1 = Range[100]
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100}

2. Se eliminan los números de 2 en 2 :

lista2 = Drop[lista1, {2, 100, 2}]
{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99}

3. Ahora, como el segundo elemento es 3, se eliminan de 3 en 3 :

lista3 = Drop[lista2, {3, Length[lista2], 3}]
{1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 27, 31, 33, 37, 39, 43, 45, 49, 51, 55, 57, 61, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 81, 85, 87, 91, 93, 97, 99}

4. Como el tercer elemento es 7, se eliminan de 7 en 7 :

lista4 = Drop[lista3, {7, Length[lista3], 7}]
{1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 27, 31, 33, 37, 43, 45, 49, 51, 55, 57, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 85, 87, 91, 93, 97, 99}

5. Como el cuarto elemento es 9, se eliminan de 9 en 9 :

lista5 = Drop[lista4, {9, Length[lista4], 9}]
{1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 45, 49, 51, 55, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 85, 87, 93, 97, 99}

Y así, sucesivamente. Como el quinto es 13 estamos seguros que ya los doce primeros de la lista son Números de la Suerte :

{1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, ... }

En Mathematica

Para optimizar el progreso con el siguiente código podemos determinar los Números de la Suerte entre los primeros 1000 enteros positivos.

suerte[1] = Range[1000];

suerte[2] = Drop[suerte[1], {2, Length[suerte[1]], 2}];

n = 2;
While[suerte[n][[n]] < Length[suerte[n]], 
 suerte[n + 1] = 
  Drop[suerte[n], {suerte[n][[n]], Length[suerte[n]], 
    suerte[n][[n]]}]; n++]
n
suerte[n]
Length[suerte[n]]

33

{1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303, 307, 319, 321, 327, 331, 339, 349, 357, 361, 367, 385, 391, 393, 399, 409, 415, 421, 427, 429, 433, 451, 463, 475, 477, 483, 487, 489, 495, 511, 517, 519, 529, 535, 537, 541, 553, 559, 577, 579, 583, 591, 601, 613, 615, 619, 621, 631, 639, 643, 645, 651, 655, 673, 679, 685, 693, 699, 717, 723, 727, 729, 735, 739, 741, 745, 769, 777, 781, 787, 801, 805, 819, 823, 831, 841, 855, 867, 873, 883, 885, 895, 897, 903, 925, 927, 931, 933, 937, 957, 961, 975, 979, 981, 991, 993, 997}

153

Lo consigue en 33 pasos y son 153 Números de la Suerte entre los primeros 1000 enteros positivos.

Comparación con los Números Primos

Al ser construidos por medio de una criba los Números de la Suerte comparten muchas características con los números primos, tales como:

1. Crecimiento asintótico como el descrito en el Teorema de los Números Primos (Publicado 25 de Septiembre de 2016): si L(n) representa el enésimo número de la suerte se tiene que L(n)>P(n) para n suficientemente grande, donde P(n) es el enésimo número primo.

2. Se puede extender la Conjetura de Goldbach (Publicado 2 de Octubre de 2016) a ellos: todo número par se puede expresar como la suma de números de la suerte.

3. Se puede extender la Conjetura de los Primos Gemelos (Publicado 10 de Octubre de 2016) y hablar de una Conjetura de parejas de números de la suerte gemelos: existen infinitas parejas de números de la suerte tales que se diferencian en dos unidades.

4. Un Número Primo de la Suerte es un número de la suerte que es primo, y tiene la conjetura: Existen infinitos Números Primos de la Suerte.

Ejercicio

Realizar código en Mathematica que nos permita verificar las afirmaciones anteriores.

Números de la Suerte de Euler

Otros números que también reciben el nombre de la suerte son los del matemático suizo Leonard Euler, estos son los enteros positivos n tales que para todo entero k tal que 1 <= k < n, el polinomio k^2-k+n produce un número primo.

euler = {};
Do[If[And @@ Table[PrimeQ[k^2 - k + n], {k, n - 1}], 
  AppendTo[euler, n]], {n, 1000}]
euler

{1, 2, 3, 5, 11, 17, 41}

Estos son los únicos seis Números de la Suerte de Euler que existen.


Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas

Frase Célebre de René Descartes

La matemática es la ciencia del orden y la medida, 
de bellas cadenas de razonamientos, 
todos sencillos y fáciles.

René Descartes

Números Prácticos

Descargar como Notebook

Dados a conocer por A.K. Srinivasan en 1948, son los números enteros positivos tal que todos los enteros positivos menores que él se pueden escribir como sumas de sus distintos divisores. Por ejemplo 6 es un Número Práctico, pues:

Divisors[6]
{1, 2, 3, 6}

1 = 1
2 = 2
3 = 3
4 = 1 + 3
5 = 2 + 3

Calculando los Números Prácticos menores que 90 tenemos que:

practicos = {};
Do[If[Complement[Range[n - 1], 
    Total /@ Subsets[Most[Divisors[n]]]] == {}, 
  AppendTo[practicos, n]], {n, 90}]
practicos

{1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90}

El único Número Práctico impar es 1, pues un número impar mayor o igual a 3, no podría obtener el 2 como suma de sus divisores: pues de 1 salta sin tomar al 2 como divisor.

El matemático del Siglo XIII Leonardo de Pisa conocido como  Fibonacci usó los Números Prácticos en su Liber Abaci (1202) al tratar el problema de escribir números racionales en fracción egipcia, fracciones que tienen a 1 como numerador.

Aunque los Números Prácticos son altamente compuestos, tienen propiedades de densidad similares a las de los números primos.Y como en el caso de los números primos, el primero tiene una paridad diferente de todo el resto.

Conjetura

Si tomamos la lista ordenada de los primeros Números Prácticos y realizamos la resta entre los consecutivos considerando el valor absoluto, obtenemos una lista con un elemento menos, continuando así consecutivamente obtenemos que el primer elemento de cada una de las listas que se han obtenido es un uno. Está se conoce como la Conjetura de los Números Prácticos, es muy parecida a la Conjetura de Gilbreath de la cual se publicó en Diciembre 26 de 2016 en este Blog.

En Mathematica

acu = {practicos};
res[p_] := 
 Table[Abs[acu[[p, k + 1]] - acu[[p, k]]], {k, Length[acu[[p]]] - 1}]
Do[AppendTo[acu, res[p]], {p, Length[practicos] - 1}]
TableForm[PadLeft[acu, {Length[practicos], Length[practicos]}, " "]]

Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas

Frase Célebre de Claudi Alsina

La clave en la enseñanza de las matemáticas 
es comunicarlas con entusiasmo

Claudi Alsina

Mes : 3 Día : 14 El día de Pi

Descargar como Notebook

El día 14 de marzo se celebra el día de la constante Pi, la relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro. Desde Wolfram con Mathematica se vincula a este homenaje.

Primeras cien cifras del número Pi

N[Pi, 100]
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

El símbolo de Pi formado por sus primeras cifras 

With[{pos = 
   PixelValuePositions[
    Rasterize@Text@Style[Pi, 90, FontFamily -> "Source Serif Pro"], 
    0]}, Graphics@
  MapThread[Text, {Characters@ToString@N[Pi, Length[pos] - 1], pos}]]

Las primeras cifras de Pi en una espiral

a = 0; digits = First[RealDigits[Pi, 10, 100]];
Graphics@Table[r = .1 + .03 a;
  a = a + (80000/r)^.32;
  g = Rotate[
    Style[Text[
      Reverse[digits][[n]], {0, r^1.5}, {0, 0}], (353 (.1 + r)^1.25)/100^1.5], a Degree, {0, 0}], {n, 0, Length[digits]}]

El símbolo de Pi de forma artística

Rasterize@
 Graphics[{Riffle[
    Table[Text[Style[Pi, FontFamily -> "Source Serif Pro", 20 s]], {s,34, 3, -1}], {White, Black}]}]

Jugando con el Símbolo de Pi

Manipulate[
 Graphics[{Table[
    Rotate[Text[
      Style[Pi, FontFamily -> "Source Serif Pro", 200], {x, 0}, {0, 
       0}, AngleVector[d]], i \[Pi]/4, {0, 0}], {i, 0, 7}]}, 
  PlotRange -> 1], {{x, .5}, 0, 1}, {d, 0, 2 \[Pi]}]

Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas

Números Intocables

Descargar como Notebook

Son los números enteros positivos que NO son la suma de los divisores propios de ningún número.

Por Ejemplo : 1, es la suma de los divisores propios de cualquier número primo;  2, es intocable; 3, es la suma de los divisores propios de 4; 4, es la suma de los divisores propios de 9; 5, es intocable. Calculemos los números intocables entre los primeros 1000 enteros positivos.

La primera pregunta que se presenta es : Dado un número entero positivo n, ¿Qué tan grande debemos considerar los números entre los que vamos a buscar candidatos para que la suma de sus divisores propios generen al número inicial n?
No conozco un resultado matemático que nos pueda ayudar. Pero consideramos el cuadrado de un número primo, por ejemplo el 5, su cuadrado es 25, sus divisores propios {1,5}, que suman 1+5=6. Luego voy a considerar hasta (n-1)^2+2, el +2 es por los primeros números.

Forma 1

Hallaremos los números toc (tocables) los que se pueden obtener como suma de los divisores propios de otro número, para posteriormente tomar complemento del universo de los primeros mil enteros positivos y obtener el conjunto de los números intocables.

toc = {};
SetSharedVariable[toc]
ParallelDo[
 Do[If[DivisorSum[m, # &] == m + n, AppendTo[toc, n]; 
   n++], {m, (n - 1)^2 + 2}], {n, 1000}]
Complement[Range[1000], toc]

{2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 
248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658, 668, 670, 708, 714, 718, 726, 732, 738, 748, 750, 756, 766, 768, 782, 784, 792, 802, 804, 818, 836, 848, 852, 872, 892, 894, 896, 898, 902, 926, 934, 936, 964, 966, 976, 982, 996}

Forma 2

Obtenemos todas las sumas de los divisores propios de los enteros menores que 3000 y luego realizamos el complemento con los números hasta 1000.

Complement[Range[1000], Table[Total[Divisors[n]] - n, {n, 1000000}]]

{2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 
248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658, 668, 670, 708, 714, 718, 726, 732, 738, 748, 750, 756, 766, 768, 782, 784, 792, 802, 804, 818, 836, 848, 852, 872, 892, 894, 896, 898, 902, 926, 934, 936, 964, 966, 976, 982, 996}

En ambos códigos se realizan sumas de divisores de forma repetida, pero el segundo código es más rápido.

Conjetura

Observamos que 5 es un número intocable y el único impar de la lista, por tanto se conjetura:

El único número intocable impar es 5.

En el 2006 el matemático Frank Adam-Watters realiza una demostración de este hecho utilizando la Conjetura de Goldbach (de la que hablamos en la publicación del 2 de Octubre de 2016), es decir si la Conjetura de Goldbach es cierta 5 es el único número intocable impar.

Consideramos una versión ligeramente más fuerte de la Conjetura de Goldbach, que todo número par mayor que 6 se puede escribir como la suma de dos números primos diferentes.

Consideremos 2n+1 un número impar mayor que 7, como 2n es par utilizando la Conjetura tenemos que 2n=p+q, con p,q números primos diferentes. Así, los divisores propios de pq son 1,p y q, por tanto: 1+p+q=1+2n, y tenemos que, 2n+1 (número impar mayor que 7) no es un número intocable. Luego los únicos impares que pueden ser intocables son 1,3,5 y 7: 1, se obtiene de los divisores propios de 2; 3, de los de los de 4; 7 de los de 8. Por tanto:

Si la Conjetura de Goldbach es válida, 

el único número intocable impar es 5.

Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas

Frase Célebre de Carl Friedrich Gauss

No es el conocimiento, sino el acto de aprendizaje, 
y no la posesión, sino el acto de llegar allí, 
lo que concede el mayor disfrute.

Carl Friedrich Gauss

Números de Ore

Descargar como Notebook

El destacado matemático en teoría de números y teoría de grafos Oystein Ore definió en 1948 los números divisores armónicos o de Ore, como los números enteros positivos para los cuales la media armónica de todos sus divisores es un número entero.

Por ejemplo 28 es un Número de Ore pues:

Divisors[28]
{1, 2, 4, 7, 14, 28}

1/Divisors[28]
{1, 1/2, 1/4, 1/7, 1/14, 1/28}

Length[Divisors[28]]/Total[{1, 1/2, 1/4, 1/7, 1/14, 1/28}]
3

Busquemos los Números de Ore entre el primer millón de enteros positivos :

ore = {};
Do[If[IntegerQ[Length[Divisors[n]]/Total[1/Divisors[n]]], 
  AppendTo[ore, n]], {n, 1000000}]
ore

{1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18600, 18620, 27846, 30240, 32760, 55860, 105664, 117800, 167400, 173600,
237510, 242060, 332640, 360360, 539400, 695520, 726180, 753480,
950976}

Un resultado interesante es que todo Número Perfecto (de la que hablamos en la publicación del 19 de Diciembre de 2016) es un Número de Ore.

Para aprender más sobre Mathematica ingrese aquí sitio de aprendizaje de Wolfram o en mi website ustamathematica.wixsite.com/basicas