Frase Célebre de Menecmo

No existe una carretera real para la geometría.

Menecmo

Función Phi de Euler

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Antes de definirla recordemos que dos números enteros positivos se dicen coprimos o primos relativos entre sí, si el máximo común divisor entre ambos es 1. En Mathematica se tiene el comando GCD[ ] para el máximo común divisor y CoprimeQ[ ] para decidir si son (True) o no (False) primos relativos.

GCD[4, 6]
2

CoprimeQ[4, 6]
False

GCD[4, 9]
1

CoprimeQ[4, 9]
True

Ahora, dado un entero positivo n, la función Φ(n) nos da el número de enteros positivos menores o iguales a n que son primos relativos con él. Calculemos Φ(12): de la lista de los enteros de 1 a 12, vamos a seleccionar los que son coprimos con 12 y los contamos.

Range[12]
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Select[Range[12], CoprimeQ[12, #] &]
{1, 5, 7, 11}

Length[%]
4

Así,  Φ(12) = 4.

Propiedades

1. Es claro que: Φ(1)=1

2. Para un número primo p se tiene que: Φ(p)=p-1

3. Para un número primo p y un número entero positivo k, se tiene que: Φ(p^k)=(p-1)p^(k-1)

4. Para n,m números enteros positivos: Φ(n m)=Φ(n) Φ(m).

Ahora, el Teorema Fundamental de la Aritmética nos dice:

Si n es un entero positivo mayor o igual a 2, entonces existen números primos p y  números enteros positivos α tales que se puede expresar de forma única, salvo el orden del producto, n como:

Por tanto, de las propiedades de la Función Phi de Euler y el Teorema Fundamental de la Aritmética tenemos el Producto de Euler:

Si la factorización de n como producto de primos es como él resultado anterior, entonces

En Mathematica

Diferentes formas de calcular la función Phi de Euler:

Forma 1

Como realizamos el calculo en el ejemplo, de forma funcional

phi[n_] := Length@Select[Range[n], CoprimeQ[n, #] &]

phi[12]
4

Forma 2

De forma procedimental

euler[n_] := 
 Module[{ee = {}}, Do[If[CoprimeQ[k, n], AppendTo[ee, k]], {k, n}]; 
  Length[ee]]

euler[12]
4

Forma 3

Utilizando el producto de Euler, sabemos que el Teorema Fundamental de la Aritmética lo representa la función FactorInteger[ ], que nos muestra una lista de parejas donde el primer número es el factor primo y el segundo su correspondiente exponente:

FactorInteger[20!]
{{2, 18},{3, 8},{5, 4},{7, 2},{11, 1},{13, 1},{17, 1},{19, 1}}

Escribiéndolo en forma multiplicativa:

CenterDot @@ (Superscript @@@ %)

Por tanto,

phieuler[12]
4

Forma 4

De última la más sencilla, Mathematica tiene incorporada la función EulerPhi[ ] :

EulerPhi[12]
4

En entradas futuras haremos referencia y uso de esta función.


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Frase Célebre de Leonardo Da Vinci

Quien ama la práctica sin teoría 
es como el marinero que se embarca 
sin timón ni brújula 
y nunca sabe a dónde ir

Leonardo Da Vinci

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Gracias a los seguidores en Alemania e Irlanda, que siempre encabezan la lista de entradas.

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Números de Smith

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Se deben al matemático Albert Wilanski que los dio a conocer en 1982, pero su nombre se debe a que él observó que el número telefónico (4937775) de su cuñado Harold Smith cumplía con estas características.

Los Números de Smith son los números enteros positivos compuestos, no primos, tales que la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de sus factores primos (si se tienen factores primos repetidos se suman tantas veces como aparezcan).

Vamos a utilizar el comando de Mathematica FactorInteger[ ] que nos da la lista de los factores primos cada uno acompañado de su multiplicidad.

Por ejemplo 22 es un Número de Smith pues:

FactorInteger[22]
{{2, 1}, {11, 1}}

Así, 22 = 2*11, y se cumple que :

suma de las cifras: 2+2=4 y suma de las cifras de sus factores primos: 2+1+1=4.

Para realizar una búsqueda de Números de Smith, primero definimos la función suma[n,m] que suma las cifras de cada factor en la descomposición en factores teniendo presente la multiplicidad,

suma[n_, m_] := m Total@IntegerDigits[n]

y posteriormente la función total[n] que nos da la suma de todos los factores primos de n teniendo presente la multiplicidad,

total[n_] := Total[suma @@@ FactorInteger[n]]

Por ejemplo: de 1183

FactorInteger[1183]
{{7, 1}, {13, 2}}

1183 = 7 ¹ × 13 ²

total[1183] = 1 (7) + 2 (1 + 3) = 15

veamos

total[13^2 7]
15

Comprobemos que el número telefónico de Harold Smith (4937775) es efectivamente un Número de Smith :

total[4937775]
42

Total@IntegerDigits[4937775]
42

luego, sí es un Número de Smith.

Realicemos, ahora sí,  la búsqueda de Números de Smith entre los primeros 1000 enteros positivos:

smith = {};
Do[If[Not[PrimeQ[n]] && total[n] == Total[IntegerDigits[n]], 
  AppendTo[smith, n]], {n, 1000}]
smith

{1, 4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985}

Primos Repunit

Son los números primos tales que todos sus dígitos son unos. Determinemos una lista de los primeros Primos Repunit:

repunit = {};
Do[If[PrimeQ[FromDigits@Table[1, {n}]], 
  AppendTo[repunit, FromDigits@Table[1, {n}]]], {n, 200}]
repunit
{11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111}

Existen infinitos números Primos Repunit.

En 1983 los matemáticos Oltikar y Wayland encontraron que si p es un Primo Repunit, entonces el número 1540*p es un Número de Smith. Veamos:

total[1540 repunit[[1]]]
20

Total@IntegerDigits[1540 repunit[[1]]]
20

total[1540 repunit[[2]]]
37

Total@IntegerDigits[1540 repunit[[2]]]
37

total[1540 repunit[[3]]]
41

Total@IntegerDigits[1540 repunit[[3]]]
41

Esto también ocurre para los números: 1540, 1720, 2170, 2440, 5590 y 6040. Busquemos si existe alguna combinación que no se cumpla:

cand = {1540, 1720, 2170, 2440, 5590, 6040};
nocumple = {};
Do[If[total[cand[[n]]*repunit[[k]]] != 
   Total@IntegerDigits[cand[[n]]*repunit[[k]]], 
  AppendTo[nocumple, {cand[[n]], repunit[[k]]}]], {n, 1, 6}, {k, 1, 3}]
nocumple

{{16, 11}, {16, 1111111111111111111}, {16, 11111111111111111111111}}

El mayor Número de Smith que se conoces es :

donde R₁₀₃₁ es el Repunit con 1031 unos.

También se conocen Números de Smith capicúas como 12345554321; Números de Smith hermanos, Números de Smith consecutivos, como 728 y 729 y también 67728 y 67729; tripletas de Smith: 225951, 225952 y 225953.

Números de Hoax

Se definen igual que los Números de Smith con la diferencia que no se tiene presente la multiplicidad de los factores primos repetidos.

El enésimo Conjunto de Mónica M (n)

Un número compuesto pertenece a M (n), si n divide a la diferencia entre la suma de sus dígitos y la suma de sus factores (con multiplicidad).

El enésimo Conjunto de Suzanne S (n)

Un número compuesto pertenece a S (n), si n divide la suma de sus dígitos y a la suma de sus factores (con multiplicidad).

Ejercicio

1. Determinar los Números de Hoax entre los primeros mil enteros positivos.

2. Determinar M(2), M(3) y M(5).

3. Determinar S(2), S(3) y S(5).

4. Qué relación existe entre M(n) y S(n)?


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Gráficas de la función Seno en polares

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Veamos las gráficas polares de la función Sen (n θ/d) donde n y d toman valores enteros entre 1 y 7, he hecho variar θ entre 0 y 16 π pero esto sólo es necesario para las gráficas de mayor complejidad, las primera no necesitan de tanto recorrido de θ.

TableForm[
 Table[PolarPlot[Sin[n θ/d], {θ, 0, 16 Pi}, 
   PlotRange -> 1, Ticks -> None, Axes -> False], {n, 1, 7, 1}, 
{d, 1,7, 1}], 
 TableHeadings -> {{"n=1", "n=2", "n=3", "n=4", "n=5", "n=6", 
    "n=7"}, {"d=1", "d=2", "d=3", "d=4", "d=5", "d=6", "d=7"}}]

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Frase Célebre de Karl Weierstrass

Es imposible ser matemático 
sin tener alma de poeta

Karl Weierstrass

Números de Harshad

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Harshad es una palabra que proviene del sánscrito que significa que da alegría, es decir los Números de Harshad son los Números que dan Alegría.

Estos números se le deben a D. R. Kaprekar matemático de la India de quien ya discutimos sobre su constante en dos artículos (Publicados 12 y 20 de Septiembre de 2016), también se conocen como los Números de Niven ya que Ivan M. Niven dio una conferencia sobre ellos en 1977.

Los Números de Harshad (o Números de Niven) son los enteros positivos tales que son divisibles por la suma de sus dígitos, esto también en cualquier base, si el número es divisible por sus dígitos en base n se dice que es un Número n-Harshad.

En Mathematica

Forma 1

harshad = {};
Do[If[Mod[n, Total@IntegerDigits[n]] == 0, AppendTo[harshad, n]], {n,100}]
harshad

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100}

Forma 2

Select[Range[100], Mod[#, Total@IntegerDigits[#]] == 0 &]

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100}

En Base 2

Select[Range[100], Mod[#, Total@IntegerDigits[#, 2]] == 0 &]

{1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 21, 24, 32, 34, 36, 40, 42, 48, 55, 60, 64, 66, 68, 69, 72, 80, 81, 84, 92, 96}

Propiedades

1. Por el conocido test de divisibilidad por 9 se podría pensar que todo número múltiplo de 9 es un Número de Harshad, pero no pues en el test de divisibilidad por 9 se mira que la suma de los dígitos sean divisibles por 9, no que el número sea divisible por la suma de los dígitos.

2. Para que un número primo sea de Harshad es necesario que el número primo sea menor que la base en la que se está trabajando, si es mayor no puede ser de Harshad.

3. Se conjeturo que todos los números factoriales n! eran Números de Harshad pero se encontró que 432! no lo es.

4. También se trabaja la sucesión del más pequeño k tal que k*n sea un Número de Harshad, y la sucesión del más pequeño k tal que k*n no sea un Número de Harshad.

Ejercicio

Determine el código necesario para calcular las sucesiones del numeral 4.


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