El Juego del Caos

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El matemático Británico Michael Barnsley en 1988 dio a conocer el siguiente proceso. Se parte de tres puntos en una hoja A, B y C no colineales, sobre la misma recta, (que llamaremos vértices) y otro punto P (que llamaremos punto de partida), se toma un dado y se lanza si el resultado es 1 o 2 nos dirigimos desde P hasta A pero nos quedamos a mitad de camino, si es 3 o 4 lo mismo pero dirigiéndonos a B y si es 5 o 6 dirigiéndonos a C, marcamos el punto sobre la hoja y volvemos a repetir el procedimiento desde el punto que nos habíamos quedado.

El resultado que se obtiene al realizar un número considerable de veces este proceso es sorprendente.

En Mathematica

Consideremos como vértices los puntos (0,0), (1,0) y (0,1), como punto de partida el punto (1,1) y la función ran que se comporta como el dado solo que nos da los valores 1, 2 o 3 con una probabilidad aproximada de 0.33 para cada uno.

vertices = {{0, 0}, {1, 0}, {0, 1}};
inicio = {1, 1};
ran := RandomChoice[{0.33, 0.33, 0.33} -> {1, 2, 3}, 1][[1]]

La función siguiente[ ] nos da las coordenadas del punto medio dependiendo del resultado del dado simulado por la función ran

siguiente[punto_] := (vertices[[ran]] + punto)/2

Definimos la función T[n_] que nos va a repetir n veces el procedimiento del juego del caos

T[n_] := ListPlot[NestList[siguiente, inicio, n], 
  PlotRange -> {{-0.2, 1.5}, {-0.2, 1.5}}, AspectRatio -> 1, 
  Axes -> False, PlotStyle -> PointSize[0.001]]

Grafiquemos algunos resultados de la función T[n]

Show[GraphicsGrid[{{T[10], T[50], T[100]}, {T[200], T[500], 
    T[1000]}, {T[5000], T[20000], T[50000]}}]]

Eliminando algunos puntos iniciales, el resultado es una aproximación al Triángulo de Sierpinski

T[100000]

Este proceso da origen a un método estocástico o probabilístico para la construcción de fractales denominado ping pong fractal, del cual hablaremos en una próxima entrada.



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